题目内容

【题目】已知函数f(x)=lnx+bx﹣c,f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+y+4=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)若在区间 内,恒有f(x)≥2lnx+kx成立,求k的取值范围.

【答案】
(1)解:由题意,f′(x)= +b,则f′(1)=1+b,

∵在点(1,f(1))处的切线方程为x+y+4=0,

∴切线斜率为﹣1,则1+b=﹣1,得b=﹣2,

将(1,f(1))代入方程x+y+4=0,

得:1+f(1)+4=0,解得f(1)=﹣5,

∴f(1)=b﹣c=﹣5,将b=2代入得c=3,

故f(x)=lnx﹣2x﹣3


(2)解:依题意知函数的定义域是(0,+∞),且f′(x)= ﹣2,

令f′(x)>0得,0<x< ,令f′(x)<0得,x>

故f(x)的单调增区间为(0, ),单调减区间为( ,+∞)


(3)解:由f(x)≥2lnx+kx,k≤﹣2﹣ 在区间 内恒成立,

设g(x)=﹣2﹣ ,则g′(x)=

∴g(x)在区间 上单调递增,

∴g(x)的最小值为g( )=2ln2﹣8,

∴k≤2ln2﹣8


【解析】(1)由求导公式、法则求出f′(x),根据题意和导数的几何意义求出b的值,将(1,f(1))代入方程x+y+4=0求出f(1),代入解析式列出方程求出c,即可求出函数f(x)的解析式;(2)由(1)求出函数的定义域和f′(x),求出f′(x)>0和f′(x)<0的解集,即可求出函数f(x)的单调区间;(3)由f(x)≥2lnx+kx,k≤﹣2﹣ 在区间 内恒成立,求出右边的最小值,即可得出结论.
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案,需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.

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