题目内容
已知直角三角形ABC的三边a,b,c成公差为正数的等差数列,且a=6.
(1)求三角形ABC的三边长;
(2)设P是三角形ABC(含边界)内一点,点P到三角形边AB,BC,AC的距离为d1,d2,d3,求d1+d2+d3的取值范围.
(1)求三角形ABC的三边长;
(2)设P是三角形ABC(含边界)内一点,点P到三角形边AB,BC,AC的距离为d1,d2,d3,求d1+d2+d3的取值范围.
分析:(1)设出三角形的三边的长,利用勾股定理,建立方程,即可求得三角形ABC的三边长;
(2)用坐标法,将三角形ABC放置在直角坐标系中,通过点到直线的距离,表示出d1+d2+d3,利用线性规划的思想方法求出范围即可.
(2)用坐标法,将三角形ABC放置在直角坐标系中,通过点到直线的距离,表示出d1+d2+d3,利用线性规划的思想方法求出范围即可.
解答:解:(1)设公差为d,则三边长分别为6,6+d,6+2d
∵△ABC是直角三角形
∴62+(6+d)2=(6+2d)2,
∴d2+4d-12=0
∵d>0,∴d=2
∴△ABC的三边长分别为6,8,10;
(2)以C为坐标原点,射线CA为x轴正半轴建立直角坐标系,
则A、B坐标为(3,0),(0,4),直线AB方程为4x+3y-12=0.
设P点坐标为(x,y),则由P到三边AB、BC、AB的距离为d1,d2和d3,可知d1+d2+d3=x+y+
,且
,故d1+d2+d3=
.
令m=x+2y,由线性规划知识可知,如图:

当直线分别经过点A、O时,m取得最大、最小值,故0≤m≤8,故d1+d2+d3的取值范围是[
,4].
∵△ABC是直角三角形
∴62+(6+d)2=(6+2d)2,
∴d2+4d-12=0
∵d>0,∴d=2
∴△ABC的三边长分别为6,8,10;
(2)以C为坐标原点,射线CA为x轴正半轴建立直角坐标系,
则A、B坐标为(3,0),(0,4),直线AB方程为4x+3y-12=0.
设P点坐标为(x,y),则由P到三边AB、BC、AB的距离为d1,d2和d3,可知d1+d2+d3=x+y+
|4x+3y-12| |
5 |
|
x+2y+12 |
5 |
令m=x+2y,由线性规划知识可知,如图:

当直线分别经过点A、O时,m取得最大、最小值,故0≤m≤8,故d1+d2+d3的取值范围是[
12 |
5 |
点评:本题考查等差数列,考查利用线性规划知识求范围,考查学生转化的能力,属于中档题.

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