题目内容
（2012•泉州模拟）将边长为1的正三角形ABC按如图所示的方式放置，其中顶点A与坐标原点重合．记边AB所在直线的倾斜角为θ，已知θ∈[0，| π |
| 3 |
（Ⅰ）试用θ表示
| BC |
（Ⅱ）定义：对于直角坐标平面内的任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），称|x1-x2|+|y1-y2|为P、Q两点间的“taxi距离”，并用符号|PQ|表示．试求|BC|的最大值．
分析：（Ⅰ）解法一：由B（cosθ，sinθ），C（cos（θ+
），sin（θ+
））可求得
的坐标，利用两角和与差的三角函数公式即可求得
．
解法二：由直线AD的倾斜角为
+θ，
=
，利用三角函数的定义可求得D点的坐标为：D（cos（θ+
），sin（θ+
）），即
的坐标；
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）解法二可知|BC|=|cos（θ+
）|+|sin（θ+
））|，而θ∈[0，
]，可求得θ+
∈[
，π]，从而可得|BC|=-cos（θ+
）+sin（θ+
），整理可得|BC|=
sin（θ+
），继而可得答案；
解法二：由（Ⅰ）解法一可知|BC|=|cos（θ+
）-cosθ|+|sin（θ+
）-sinθ|，由0≤θ≤
，可得0＜θ+
＜π，从而|cos(θ+
)-cosθ|=cosθ-cos（θ+
），同理|sin(θ+
)-sinθ|=sin（θ+
）-sinθ，于是|BC|=sin（θ+
）+cos（θ+
），再利用辅助角公式即可得答案．
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| BC |
| BC |
解法二：由直线AD的倾斜角为
| 2π |
| 3 |
| BC |
| AD |
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| BC |
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）解法二可知|BC|=|cos（θ+
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 2 |
| 5π |
| 12 |
解法二：由（Ⅰ）解法一可知|BC|=|cos（θ+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
解答：解：（Ⅰ）解法一：因为B（cosθ，sinθ），C（cos（θ+
），sin（θ+
）），…（2分）
所以
=（cos（θ+
）-cosθ，sin（θ+
）-sinθ），…（3分）
=（-
sinθ-
cosθ，
cosθ-
sinθ）
=（cos（θ+
），sin（θ+
））．…（7分）
解法二：平移
到
（B移到A，C移到D），…（2分）
由
的坐标与
的坐标相等，都等于点D的坐标．…（3分）
由平几知识易得直线AD的倾斜角为
+θ，
∵
=1，
∴根据三角函数的定义可得D（cos（θ+
），sin（θ+
）），
所以
=（cos（θ+
），sin（θ+
））．…（7分）
（Ⅱ）解法一：
|BC|=|cos（θ+
）|+|sin（θ+
））|，…（8分）
∵θ∈[0，
]，
∴θ+
∈[
，π]，…（9分）
∴|BC|=-cos（θ+
）+sin（θ+
）…（11分）
=
sin（θ+
），…（12分）
所以当θ=
时，|BC|取得最大值
．…（13分）
解法二：|BC|=|cos（θ+
）-cosθ|+|sin（θ+
）-sinθ|，…（8分）
∵0≤θ≤
，
∴
≤θ+
≤
＜π，即0≤θ＜θ+
＜π，
∴|cos(θ+
)-cosθ|=cosθ-cos（θ+
）．…（9分）
∵0≤θ≤
，
∴
-θ≥（θ+
）-
，
∴|sin(θ+
)-sinθ|=sin（θ+
）-sinθ，…10分
|BC|=cosθ-cos（θ+
）+sin（θ+
）-sinθ
=sin（θ+
）+cos（θ+
）
=
sin（θ+
），…（12分）
所以当θ=
，|BC|取得最大值
．…（13分）
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
所以
| BC |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
=（-
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=（cos（θ+
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
解法二：平移
| BC |
| AD |
由
| BC |
| AD |
由平几知识易得直线AD的倾斜角为
| 2π |
| 3 |
∵
| |AD| |
∴根据三角函数的定义可得D（cos（θ+
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
所以
| BC |
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
（Ⅱ）解法一：
|BC|=|cos（θ+
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∵θ∈[0，
| π |
| 3 |
∴θ+
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∴|BC|=-cos（θ+
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
=
| 2 |
| 5π |
| 12 |
所以当θ=
| π |
| 12 |
| 2 |
解法二：|BC|=|cos（θ+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∵0≤θ≤
| π |
| 3 |
∴
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴|cos(θ+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∵0≤θ≤
| π |
| 3 |
∴
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
∴|sin(θ+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
|BC|=cosθ-cos（θ+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
=sin（θ+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
=
| 2 |
| 5π |
| 12 |
所以当θ=
| π |
| 12 |
| 2 |
点评：本小题主要考查三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，综合性强，属于难题．
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