题目内容
【题目】已知函数.
(1)记,求证:函数在区间内有且仅有一个零点;
(2)用表示中的最小值,设函数,若关于的方程(其中为常数)在区间有两个不相等的实根,记在内的零点为,试证明:.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)求出函数的导数,通过解关于导函数的不等式,得到函数的单调性,结合零点存在定理证出结论即可;(2)问题转化为证明,根据在上递减,即证明,根据函数的单调性证明即可.
试题解析:(1)证明:,
显然当时,,故在上单调递增,
而,所以由零点存在定理知,
必存在唯一,使得,
即函数在区间内有且仅有一个零点.
(2)由(1)问可知,且时,,时,
因此,
其中满足即,(事实上),
而时,,时,,
因此在,若方程在区间有两个不相等的实根,
,则必有,
所证,因为在单调递减,
所以只需证,而,所以只需证,
即证明:,
构造函数,,
发现,,
下证明时,恒成立,
考查函数,所以在,
所以一定有,
因此,时,,
即在,所以时,即成立了.
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