Question

已知抛物线y²=4x的焦点为F，准线为l，l与双曲线

x2

a2

-y2=1(a＞0)交于A，B两点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是（　　）

• A、

  3

• B、

  6

• C、2
• D、

  2

  +1

Answer 1

分析：依题意，可求得物线的准线方程与焦点的坐标，从而可求得点A，B的坐标，利用

FA

•

FB

=0可求得a²的值，从而可求得双曲线的离心率．

解答：由抛物线y²=4x得：抛物线的准线方程为x=-1，抛物线的焦点F的坐标是（1，0）．
令

x2

a2

-y²=1中的x=-1，得：

1

a2

-y²=1，
∴y²=

1

a2

-1
∴y=

1 a2 -1

，或y=-

1 a2 -1

．
∴A、B的坐标分别是（-1，-

1 a2 -1

）、（-1，

1 a2 -1

）．
∴向量

FA

=（-2，-

1 a2 -1

），向量

FB

=（-2，

1 a2 -1

）．
∵△FAB是Rt△，显然有：|

FA

|=|

FB

|，

FA

•

FB

=0，
∴4-（

1

a2

-1）=0
∴a²=

1

5

，
∴c²=

1

5

+1=

6

5

．
∴e²=

c2

a2

=6，
∴e=

6

．
∴双曲线的离心率是

6

．
故选B．

点评：本题考查双曲线与抛物线的简单性质，求得点A，B的坐标，利用

FA

•

FB

=0求得a²的值是关键，也是难点，属于难题．