题目内容

设椭圆M:=1(a>)的右焦点为F1,直线l:x=与x轴交于点A,若(其中O为坐标原点).

(1)求椭圆M的方程;

(2)设P是椭圆M上的任意一点,EF为圆N:x2+(y-2)2=1的任意一条直径(E、F为直径的两个端点),求·的最大值.

答案:
解析:

  (1)由题设知,,1分

  由,得.3分

  解得

  所以椭圆的方程为;4分

  (2)方法1:设圆的圆心为

  则;6分

  ;7分

  ;8分

  从而求的最大值转化为求的最大值;9分

  因为是椭圆上的任意一点,设,10分

  所以,即;11分

  因为点,所以;12分

  因为,所以当时,取得最大值12;13分

  所以的最大值为11;14分

  方法2:设点

  因为的中点坐标为,所以;6分

  所以;7分

  

  

  ;9分

  因为点在圆上,所以,即;10分

  因为点在椭圆上,所以,即;11分

  所以;12分

  因为,所以当时,;14分

  方法3:①若直线的斜率存在,设的方程为;6分

  由,解得;7分

  因为是椭圆上的任一点,设点

  所以,即;8分

  所以;9分

  所以;10分

  因为,所以当时,取得最大值11;11分

  ②若直线的斜率不存在,此时的方程为

  由,解得

  不妨设,;12分

  因为是椭圆上的任一点,设点

  所以,即

  所以

  所以

  因为,所以当时,取得最大值11;13分

  综上可知,的最大值为11.(14分)


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