Question

数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ，（n=1，2，3…）
（Ⅰ） 当a₂=-1时，求λ及a₃；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{a_n}为等差数列或等比数列？若存在，求出其通项公式，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将a₂=-1 代入a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ，解关于的方程求出λ，继而求出a₃．
（Ⅱ）先通过特殊方法，得到λ的可能值，再进一步结合等差数列，等比数列定义进行验证．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=2，a₂=-1，a₂=（λ-3）a₁+2，（n=1，2，3…）∴λ=

3

2

，故a3=-

3

2

a2+22，所以a3=

11

2

．
（Ⅱ）∵a₁=2，a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ，∴a₂=（λ-3）a₁+2=2λ-4，a₃=（λ-3）a₂+4=2λ²-10λ+16，
若数列{a_n}为等差数列，则a₁+a₃=2a₂∴λ²-7λ+13=0∵△=49-4×13＜0∴方程没有实根，故不存在λ，使得数列{a_n}为等差数列．
若数列{a_n}为等比数列，则a₁•a₃=a₂²，即2（2λ²-10λ+16）=（2λ-4）²
解得：λ=4．∴a_n+1=a_n+2ⁿ

∴a2-a1=2 a3-a2=22 a4-a3=23 … an-an-1=2n-1

将n-1个式子相加，a_n-a₁=2+2²+…+2^n-1，∴an=2+

2(1-2n-1)

1-2

=2n（n≥2，n∈N）
又n=1，a₁=2符合条件，∴a_n=2ⁿ（n∈N^*）∴

an+1

an

=

2n+1

2n

=2，故数列{a_n}为等比数列．通项公式为a_n=2ⁿ

点评：本题给出的是数列a_n+1与a_n两项之间的递推形式．在第二问中，通过特殊方法，得到λ的值，要注意引导学生理解结果并非充要条件，而是必要不充分条件，所以需要进一步的验证，而且在验证过程中，使用了叠加法，可以为学生说明其结构形式和解题策略要让学生掌握归纳的思想，学会从特殊到一般的思考数学问题的思维过程．