Question

16．已知等比数列{x_n}的各项为不等于1的正数，数列{y_n}满足y_n•log${\;}_{{x}_{n}}$a=2（a＞0且a≠1），已知y₄=17，y₇=11．
（1）数列{y_n}的前多少项和最大？最大值是多少？
（2）是否存在正整数M，使当n＞M时，x_n＞1恒成立？若存在，求M的取值范围；若不存在，则说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知条件推导出y_n-1-y_n=2log_aq为常数，从而证明{y_n}是等差数列；求出{y_n}是首项为23，公差为-2的等差数列，进而求出y_n=23+（n-1）•（-2）=25-2n，设{y_n}的前n项和为T_n，T_n=-n²+24n=-（n-12）²+144，由此求出当n=12时，前12项和最大，最大值为144．
（2）由y_n=22+（n-1）（-2）=2log_ax_n，知x_n=a^12-n．又x_n=a^12-n＞1，由此能够得出结论．

解答 解：（1）设数列{x_n}的公比为q，则x_n=x₁q^n-1，
∴y_n=2log_ax_n=2log_ax₁+2（n-1）log_aq，
∴y_n-1-y_n=2log_ax₁+2nlog_aq-[2log_ax₁+2（n-1）log_aq]=2log_aq为常数，
∴{y_n}是等差数列；
设公差为d，由y₄=17，y₇=11，
可得y₁+3d=17，y₁+6d=11
解得y₁=23，d=-2，
∴y_n=23+（n-1）•（-2）=25-2n，
设{y_n}的前n项和为T_n，
T_n=$\frac{n（23+25-2n）}{2}$=-n²+24n=-（n-12）²+144，
∴当n=12时，前12项和最大，最大值为144．
（2））∵y_n=25-2n=2log_ax_n，
∴x_n=a^12.5-n．又x_n=a^12.5-n＞1，
当a＞1时，12.5-n＞0，n＜12.5；
当0＜a＜1时，12.5-n＜0，n＞12.5．
综上所述，当0＜a＜1时，存在正整数M≤13，使得当n＞M时，x_n＞1恒成立．

点评 本题考查数列与不等式的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．