题目内容

如图,曲线C1是以原点O为中心,F1,F2为焦点的椭圆的一部分.曲线C2是以O为顶点,F2为焦点的抛物线的一部分,A是曲线C1和C2的交点且∠AF2F1为钝角,若|AF1|=,|AF2|=
(I)求曲线C1和C2的方程;
(II)设点C是C2上一点,若|CF1|=|CF2|,求△CF1F2的面积.

【答案】分析:(I)设曲线C1的方程为,则根据|AF1|=,|AF2|=,可得a=3,设A(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),则(x+c)2+y2=,(x-c)2+y2=,由此可求曲线C1和C2的方程;
(II)过点F1作直线l垂直于x轴,过点C作直线CC1⊥l于点C1,依题意知l为抛物线C2的准线,则|CC1|=|CF2|,在△CF1F2中,设|CF2|=r,则|CF1|=r,|F1F2|=2,由余弦定理可得r=2,再利用三角形的面积公式,即可求得结论.
解答:解:(I)设曲线C1的方程为,则2a=|AF1|+|AF2|=得a=3
设A(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),则(x+c)2+y2=,(x-c)2+y2=
两式相减可得:xc=
由抛物线定义可知|AF2|=x+c=
∴c=1,x=或x=1,c=(舍去)
所以曲线C1的方程为,C2的方程为y2=4x(0≤x≤);
(II)过点F1作直线l垂直于x轴,过点C作直线CC1⊥l于点C1,依题意知l为抛物线C2的准线,则|CC1|=|CF2|
在直角△CC1F1中,|CF1|=|CC1|,∠C1CF1=45°
∵∠CF1F2=∠C1CF1=45°
在△CF1F2中,设|CF2|=r,则|CF1|=r,|F1F2|=2
由余弦定理可得22+2r2-2×2×rcos45°=r2
∴r=2
∴S△CF1F2=
点评:本题考查了椭圆,抛物线方程的求法,考查三角形面积的计算,求得方程是关键.
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