题目内容
已知函数f（x）=2asinωxcosωx+b（2cos2ωx-1）（ω＞0）在x=| π |
| 12 |
| π |
| 2 |
（I）求a、b的值；
（II）若f(α)=
| 2 |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
分析：（I）利用二倍角公式化简函数为f（x）=Asin（2ωx+?），根据在x=
时取最大值2．x1，x2是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，|x1-x2|的最小值为
．求出A，T，解得ω，利用f(
)=2，求出?，然后求出a、b的值；
（II）通过（I）以及f(α)=
，求出sin(2α+
)=
，利用诱导公式化简sin(
-4α)，通过二倍角公式求出sin(
-4α)的值．
| π |
| 12 |
| π |
| 2 |
| π |
| 12 |
（II）通过（I）以及f(α)=
| 2 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
解答：解：（I）f（x）=asin2ωx+bcos2ωx，
可设f（x）=Asin（2ωx+?），其中A=
，sin?=
，cos?=
由题意知：f（x）的周期为π，A=2，由
=π，知ω=1．
∴f（x）=2sin（2x+?）（3分）
∵f(
)=2，∴sin(
+?)=1，从而
+?=
+2kπ，k∈Z，
即?=
+2kπ(k∈Z)，∴f(x)=2sin(2x+
)=sin2x+
cos2x，
从而a=1，b=
（6分）
（II）由f(α)=
知2sin(2α+
)=
，即sin(2α+
)=
．
∴sin(
-4α)=sin[
-(4α+
)]=-cos(4α+
)
=-1+2sin2(2α+
)=-1+2×(
)2=-
．（12分）
可设f（x）=Asin（2ωx+?），其中A=
| a2+b2 |
| b | ||
|
| a | ||
|
由题意知：f（x）的周期为π，A=2，由
| 2π |
| 2ω |
∴f（x）=2sin（2x+?）（3分）
∵f(
| π |
| 12 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
即?=
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
从而a=1，b=
| 3 |
（II）由f(α)=
| 2 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴sin(
| 5π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
=-1+2sin2(2α+
| π |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 7 |
| 9 |
点评：本题是中档题，考查三角函数的化简、求值，函数的基本性质：最值、周期，二倍角公式，两角和的正弦函数，诱导公式的应用，是综合题，考查计算能力，仔细分析题目的含义，是解好数学题目的基础．
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