题目内容
函数f（x）=ax3+（a-1）x2+48（b-3）x+b的图象关于原点成中心对称，则f（x）（ ）A．在
上为增函数B．在
上不是单调函数C．在
上为减函数，在
上为增函数D．在
为增函数，在
也为增函数
【答案】分析：由题意判断出f（x）必为奇函数，由此根据奇函数的定义列出方程组，进而求出函数的解析式，求出导函数后，分析导函数在各个区间上的符号，即可得到答案．
解答：解：由f（x）关于原点中心对称，即f（x）是奇函数，
∴
，解得a=1，b=0，
则f（x）=x3-144x
∴f′（x）=3x2-144=3（x2-48）=3（x-
）（x+
），
令f′（x）＞0，则x＜-
或x＞
令f′（x）＜0，则-
＜x＜
，
∴f（x）在（-
，
）上为减函数，在（-∞，-
），（
，+∞）上是增函数，
故选D．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，及函数奇偶性的性质，其中根据已知条件判断出函数为奇函数，进而求出函数的解析式，是解答本题的关键．
解答：解：由f（x）关于原点中心对称，即f（x）是奇函数，
∴
，解得a=1，b=0，则f（x）=x3-144x
∴f′（x）=3x2-144=3（x2-48）=3（x-
）（x+），令f′（x）＞0，则x＜-
或x＞令f′（x）＜0，则-
＜x＜，∴f（x）在（-
，）上为减函数，在（-∞，-），（，+∞）上是增函数，故选D．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，及函数奇偶性的性质，其中根据已知条件判断出函数为奇函数，进而求出函数的解析式，是解答本题的关键．
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