Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，如图，B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足：|

OA

|，|

OB

|，|

OF

|成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P
（1）求证：

PA

•

OP

=

PA

•

FP

．
（2）若l与双曲线C的左右两支分别相交于点E、D，求双曲线离心率e的取值范围．

Answer 1

分析：（1）通过双曲线方程求出渐近线方程，得到直线的斜率，求出P的坐标，利用等差数列推出

PA

•

OP

=

PA

•

FP

．
（2）利用l与双曲线C的左右两支分别相交于点E、D，联立方程组，通过两点的横坐标的乘积小于0，推出双曲线离心率e的取值范围．

解答：解：（1）证明：双曲线的渐近线为 y=±

b

a

x，F(c，0)，
∵过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，
∴直线l的斜率为：-

a

b

，∴直线l：y=-

a

b

(x-c)，
由

y=- a b (x-c) y= b a x

，可得P（

a2

c

，

ab

c

），
∵|

OA

|，|

OB

|，|

OF

|成等比数列，
所以xA•c=b2∴xA=

b2

c

，A(

a2

c

，0)，

PA

=(0，-

ab

c

)，

OP

=(

a2

c

，

ab

c

)，

FP

=(-

b2

c

，

ab

c

)，
所以

PA

•

OP

=-

a2b2

c2

，

PA

•

FP

=-

a2b2

c2

，
则

PA

•

OP

=

PA

•

FP

．
（2）解：

y=- a b (x-c) b2x2-a2y2=a2b2

，
得(b2-

a4

b2

)x2+2

a4

b2

x-(

a4c2

b2

+a2b2)=0，
∵x₁x₂＜0，∴

-( a4c2 b2 +a2b2)

b2- a4 b2

＜0，
∴b²＞a²，则c²＞2a²，
∴e²＞2，
∴e＞

2

．

点评：本题考查直线与双曲线的位置关系，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．