Question

（2006•重庆二模）若|a|＜2，则

lim

n→∞

1+2+4+…+2n

2n+an

=

2

．

Answer 1

分析：根据等比数列求和公式，算出1+2+4+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-1，代入所求式子再将分子分母都除以2ⁿ，则原式=

lim

n→∞

2 - 1 2n

1+( a 2 ) n

，再根据
|a|＜2得n→∞时(

a

2

)n的极限为0，且

1

2n

的极限也为0，由此可得

lim

n→∞

2 - 1 2n

1+( a 2 ) n

=2，得到本题答案．

解答：解：∵1+2+4+…+2ⁿ=

1-2n+1

1-2

=2ⁿ⁺¹-1
∴

lim

n→∞

1+2+4+…+2n

2n+an

=

lim

n→∞

2n+1-1

2n+an

=

lim

n→∞

2 - 1 2n

1+( a 2 ) n

∵|a|＜2，得(

a

2

)n→0，n→∞
∴

lim

n→∞

2 - 1 2n

1+( a 2 ) n

=

2-0

1+0

=2
故答案为：2

点评：本题通过求一个分式的极限，考查了等比数列求和公式和极限的运算性质等知识，属于中档题．