Question

（2006•重庆二模）在△ABC中，lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，是三边a，b，c成等比数列的（　　）

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

Answer 1

分析：先由条件lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列推出sinA，sinB，sinC的关系，然后利用正弦定理判断和a，b，c的关系．从而确定是充分条件还是必要条件．

解答：解：在△ABC中，若lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，则lgsinA+lgsinC=2lgsinB，即lgsinAsinC=lgsin²B，所以sinAsinC=sin²B，
由正弦定理得ac=b²，所以三边a，b，c成等比数列．
若三边a，b，c成等比数列，则ac=b²，由正弦定理得sinAsinC=sin²B，所以lgsinA+lgsinC=lgsinAsinC=lgsin²B=2lgsinB，
所以lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列．
所以在△ABC中，lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，是三边a，b，c成等比数列的充要条件．
故选C．

点评：本题的考点是充分条件和必要条件的判断．要求熟练找我判断充要条件的方法：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．