Question

已知两条直线l₁：ax+by+c=0，直线l₂：mx+ny+p=0，则an=bm是直线l₁∥l₂的（　　）

• A、充分不必要条件
• B、必要不充分条件
• C、充要条件
• D、既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：先由an=bm成立，看能否推出l₁∥l₂ 成立，再由直线l₁∥l₂ 成立，看能否推出an=bm 成立，然后依据充分条件、必要条件、充要条件的定义做出判断．

解答：解：①当an=bm时，若n、b都不等于0，则有

a

b

=

m

n

，-

a

b

=-

m

n

，∴l₁与l₂的斜率相等，
但不知道它们在y轴上的截距-

c

b

 和-

p

n

是否相等，故两直线平行或重合，故不能推出l₁∥l₂，充分性不成立．
②直线l₁∥l₂ 时，若两直线的斜率都不存在，则n=b=0，an=bm成立．
若两直线的斜率都存在，则他们的斜率之积等于-1，即

-a

b

×

-m

n

=-1，
化简可得 an=bm，故一定能推出an=bm，必要性成立．
故选 B．

点评：本题考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，分两个步骤进行判断，先看充分性是否成立，再看必要性是否成立，还要注意特殊情况（直线的斜率不存在），体现了分类讨论的数学思想．