Question

函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

），在同一个周期内，当x=

π

4

时y取最大值1，当x=

7π

12

时，y取最小值-1．
（1）求函数的解析式f（x）；
（2）若函数f（x）满足方程f（x）=

1

2

；求在[0，2π]内的所有实数根之和．

Answer 1

分析：（1）根据题意，算出f（x）的周期T=2（

7π

12

-

π

4

），结合周期公式解得ω=3，再结合当x=

π

4

时y取最大值1解出φ=-

π

4

，即可得到函数的解析式；
（2）由（1）的结论，得函数在[0，2π]内恰有3个周期，根据正弦函数图象的对称性，得到在[0，2π]内有6个根且分别关于直线x=

π

4

、x=

11π

12

和x=

19π

12

对称，由此加以计算即可得到所有实数根之和．

解答：解：（1）由题意，得
周期T=

2π

ω

=2（

7π

12

-

π

4

），解得ω=3
又∵当x=

π

4

时y取最大值1
∴sin（

3π

4

+φ）=1，结合|φ|＜

π

2

可得φ=-

π

4

因此函数的解析式为f（x）=sin（3x-

π

4

）；
（2）∵f（x）=sin（3x-

π

4

）的周期为

2π

3

∴函数在[0，2π]内恰有3个周期，
并且方程sin(3x-

π

4

)=

1

2

在[0，2π]内有6个实根，
且x₁+x₂=

π

2

，
同理可得x₃+x₄=

11π

6

且x₅+x₆=

19π

6

∴f（x）在[0，2π]内的所有实数根之和为：

π

2

+

11π

6

+

19π

6

=

11π

2

．

点评：本题给出三角函数图象满足的条件，求函数的表达式并求f（x）在[0，2π]内的所有实数根之和．着重考查了三角函数的周期公式、图象的对称性和最值点对应的自变量等知识，属于中档题．