Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时f(x)=x2-

1

3

x3
（1）求f（x）的解析式
（2）讨论函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性
（3）设g（x）是函数f（x）在区间（0，+∞）上的导函数．若a＞1且g（x）在区间[

1

2

，a]上的值域为[

1

a

，1]，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由f（x）是定义在R上的奇函数得f（0）=0，再设x＜0，则-x＞0，由f(x)=-f(-x)=-(x2+

1

3

x3)求得整个定义域上的解析式；
（2）可选用导数法，由若导数大于零，则对应的区间为增区间，若导数小于零，则对应的区间为减区间判断．
（3）由（1）当x＞0时，f(x)=x2-

1

3

x3可得g（x）=f'（x）=2x-x²=-（x-1）²+1，再利用二次函数求值域的方法求解．

解答：解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数∴f（0）=0（1分）
又∵x＞0时，f(x)=x2-

1

3

x3
∴当x＜0时-x＞0f(x)=-f(-x)=-(x2+

1

3

x3)
∴f(x)=

x2- 1 3 x3(x≥0) -x2- 1 3 x3(x＜0)

（3分）

（2）由（1）知当x∈（-∞，0）时，f(x)=-x2-

1

3

x3，∴f'（x）=-2x-x²（4分）
令f'（x）=0得x=-2或x=0
当x∈（-∞，-2）时，f'（x）＜0，f（x）是减函数
当x∈（-2，0）时，f'（x）＞0，f（x）是增函数
∴f（x）在区间（-∞，-2）上是减函，数在（-2，0）上是增函数．（7分）

（3）∵当x＞0时，f(x)=x2-

1

3

x3
∴g（x）=f'（x）=2x-x²=-（x-1）²+1
又∵a＞1
∴g（x）在区间[

1

2

，a]上，当x=1时g（x）取得最大值1．
当1＜a≤

3

2

时，g(x)min=g(

3

2

)=

3

4

，由

3

4

=

1

a

得a=

4

3

∈(1，

3

2

]
当a＞

3

2

时，g（x）_min=g（a）=2a-a²
由2a-a2=

1

a

得a=

1+ 5

2

或a=

1- 5

2

∉(

3

2

，+∞)或a=1∉(

3

2

，+∞)
∴所求的a的值为a=

4

3

或a=

1+ 5

2

（12分）

点评：本题主要考查用函数的奇偶性求解析式，导数法研究单调性，构造新函数研究其性质等问题，旨在培养学生综合运用知识和方法的能力．