Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-c（其中a，b，c均为常数，x∈R）．当x=1时，函数f（x）的极植为-3-c．
（1）试确定a，b的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若对于任意x＞0，不等式f（x）≥-2c²恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出f'（x），因为当x=1时，函数f（x）的极植为-3-c．得到f（1）=-3-c，f′（1）=0代入得f（x）的解析式即可；（2）令f′（x）=0求出函数的驻点，利用驻点讨论函数的增减性得到函数的单调区间即可；
（3）要使不等式f（x）≥-2c²恒成立即-6x³-9x²-c≥-2c²对任意x＞0恒成立，则函数的最小值大于等于-2c²得到关于c的不等式即可求出c的取值范围．

解答：解：（1）由f（x）=ax³+bx²-c，得f'（x）=3ax²+2bx，
当x=1时，f（x）的极值为-3-c，
∴

f′(1)=0 f(1)=-3-c

，得

3a+2b=0 a+b-c=-3-c

，∴

a=6 b=-9

，
∴f（x）=6x³-9x²-c．
（2）∵f（x）=6x³-9x²-c，∴f′（x）=18x²-18x=18x（x-1），
令f′（x）=0，得x=0或x=1．
当x＜0或x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
∴函数f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（1，+∞），单调递减区间是[0，1]．
（3）∵f（x）≥-2c²对任意x＞0恒成立，∴-6x³-9x²-c≥-2c²对任意x＞0恒成立，
∵当x=1时，f（x）_min=-3-c，∴-3-c≥-2c²，得2c²-c-3≥0，
∴c≤-1或c≥

3

2

．
∴c的取值范围是(-∞，-1]∪[

3

2

，+∞)．

点评：考查学生利用导数研究函数极值及单调性的能力，利用导数求闭区间上极值的能力，以及理解掌握不等式恒成立的条件的能力．