对于任意的n∈N*.若数列{an}同时满足下列两个条件.则称数列{an}具有“性质m :①$\frac{{{a n}+{a {n+2}}}}{2}＜{a {n+1}}$, ②存在实数M.使得an≤M成立．(1)数列{an}.{bn}中.an=n(n∈N*).${b n}=1-\frac{1}{n^2}$(n∈N*).判断{an}.{bn}是否具有“性质m ,(2)若各项为正数的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．对于任意的n∈N^*，若数列{a_n}同时满足下列两个条件，则称数列{a_n}具有“性质m”：
①$\frac{{{a_n}+{a_{n+2}}}}{2}＜{a_{n+1}}$；
②存在实数M，使得a_n≤M成立．
（1）数列{a_n}、{b_n}中，a_n=n（n∈N^*）、${b_n}=1-\frac{1}{n^2}$（n∈N^*），判断{a_n}、{b_n}是否具有“性质m”；
（2）若各项为正数的等比数列{c_n}的前n项和为S_n，且${c_3}=\frac{1}{4}$，${S_3}=\frac{7}{4}$，证明：数列{S_n}具有“性质m”，并指出M的取值范围；
（3）若数列{d_n}的通项公式${d_n}=\frac{{t\;（3•{2^n}-n）+1}}{2^n}$（n∈N^*）．对于任意的n≥3（n∈N^*），数列{d_n}具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值M₀=9，求整数t的值．

分析（1）由于$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{2}$=a_n+1，不满足条件①，因此 {a_n}不具有“性质m”；由于$\frac{{b}_{n}+{b}_{n+2}}{2}$=1-$\frac{{n}^{2}+2n+2}{{n}^{2}（n+2）^{2}}$＜1-$\frac{（n+1）^{2}+1}{（n+1）^{4}}$＜1-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$=b_n+1，又${b_n}=1-\frac{1}{n^2}$＜1（n∈N^*），即可判断出；
（2）等比数列{c_n}的公比为q＞0且q≠1，由${c_3}=\frac{1}{4}$，${S_3}=\frac{7}{4}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{{c}_{1}{q}^{2}=\frac{1}{4}}\\{\frac{{c}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}=\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，解得c₁，q．可得S_n=2$（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$．进而验证即可证明．
（3）对于任意的n≥3（n∈N^*），数列{d_n}具有“性质m”，利用$\frac{{d}_{n}+{d}_{n+2}}{2}$＜d_n+1，化为：t＞$\frac{1}{n-2}$，可得t＞1．另一方面：$\frac{t（3•{2}^{n}-n）+1}{{2}^{n}}$≤9，可得t≤3，即可得出．

解答（1）解：$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{2}$=$\frac{n+n+2}{2}$=n+1=a_n+1，不满足条件①，因此 {a_n}不具有“性质m”；
$\frac{{b}_{n}+{b}_{n+2}}{2}$=$\frac{1-\frac{1}{{n}^{2}}+1-\frac{1}{（n+2）^{2}}}{2}$=1-$\frac{1}{2}（\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+2）^{2}}）$=1-$\frac{{n}^{2}+2n+2}{{n}^{2}（n+2）^{2}}$＜1-$\frac{（n+1）^{2}+1}{（n+1）^{4}}$＜1-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$=b_n+1，因此{b_n}满足条件①，又${b_n}=1-\frac{1}{n^2}$＜1（n∈N^*），
因此存在M=1，使得b_n＜M，综上可得{b_n}是否具有“性质m”．
（2）证明：等比数列{c_n}的公比为q＞0且q≠1，∵${c_3}=\frac{1}{4}$，${S_3}=\frac{7}{4}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{c}_{1}{q}^{2}=\frac{1}{4}}\\{\frac{{c}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}=\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，解得c₁=1，q=$\frac{1}{2}$．
∴S_n=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=2$（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$．∵$\frac{{S}_{n}+{S}_{n+2}}{2}$=$\frac{2（1-\frac{1}{{2}^{n}}）+2（1-\frac{1}{{2}^{n+2}}）}{2}$=2$-\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{1}{{2}^{n+2}}$=2-$\frac{5}{{2}^{n+2}}$$2-\frac{4}{{2}^{n+2}}$＜2-$\frac{1}{{2}^{n}}$=S_n+1，∴数列{S_n}满足条件①．
又S_n=2$（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$＜2，∴存在M=2，使得S_n＜M，数列{S_n}满足条件②．综上可得：数列{S_n}具有“性质m”，M的取值范围是[2，+∞）．
（3）对于任意的n≥3（n∈N^*），数列{d_n}具有“性质m”，
∴$\frac{{d}_{n}+{d}_{n+2}}{2}$＜d_n+1，化为：t＞$\frac{1}{n-2}$，∴t＞1．
另一方面：$\frac{t（3•{2}^{n}-n）+1}{{2}^{n}}$≤9，
∴$t≤\frac{9×{2}^{n}-1}{3×{2}^{n}-n}$=3+$\frac{3n-1}{3×{2}^{n}-n}$，∴t≤3，
∴1＜t≤3，
∴整数t=2，3．