Question

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是

x=t+5 y=-4-t

 （t为参数），圆C的参数方程是

x=cosθ y=sinθ

（θ为参数），直线l与圆交于两个不同的点A，B，点P在圆C上运动，求△PAB的面积的最大值．

Answer 1

分析：把参数方程化为普通方程，联立方程组求得A、B的坐标，点P（cosθ，sinθ），求得点P到直线l的距离d
的最大值，可得△PAB的面积

1

2

AB•d的最大值．

解答：解：直线l的参数办程是

x=t+5 y=-4-t

 （t为参数），化为普通方程为 x+y-1=0，
圆C的参数方程是

x=cosθ y=sinθ

（θ为参数），化为普通方程为 x²+y²=1，
由

x+y-1=0 x2+y2=1

 求得

x=1 y=0

．或 

x=0 y=1

，故A（1，0）、B（0，1）．
设点P（cosθ，sinθ），0≤θ＜2π，
则点P到直线l的距离为 d=

|cosθ+sinθ-1|

2

=

| 2 sin(θ+ π 4 )-1|

2

，
故当θ=

5π

4

时，d最大为 1+

2

2

，
故△PAB的面积的最大值为

1

2

AB•d=

1

2

×

2

×(1+

2

2

)=

2 +1

2

．

点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，求两个曲线的交点坐标，点到直线的距离公式的应用，
属于基础题．