Question

【题目】函数f（x）=|1+2x|+|2﹣x|．

（1）指出函数的单调区间并求出函数最小值

（2）若a+f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）单调递增区间为[﹣0．5，+∞），单调减区间（﹣∞，﹣0．5）函数最小值为2．5（2）a＞-2．5

【解析】

试题分析：（1）分类讨论，即可确定函数的单调区间并求出函数最小值；（2）若a+f（x）＞0恒成立，a＞-f（x）恒成立，利用（1）的结论求a的取值范围

试题解析：（1）分类讨论：

①当1+2x＞0，x﹣2＞0，即x＞2时，f（x）=（1+2x）﹣（2﹣x）=3x﹣1单调递增；

②当1+2x＞0，x﹣2＜0，即﹣0．5≤x≤2时，f（x）=（1+2x）+（2﹣x）=x+3单调递增；

③当1+2x＜0，x﹣2＜0，即x＜﹣0．5时，f（x）=﹣（1+2x）+（2﹣x）=1﹣3x单调递减；

综上，单调递增区间为[﹣0．5，+∞），单调减区间（﹣∞，﹣0．5），

x=﹣0．5时，函数最小值为2．5；

（2）∵a+f（x）＞0恒成立，

∴a＞﹣f（x）恒成立，

∵函数最小值为2．5，

∴a＞-2．5．