题目内容

定义在D上的函数f(x)，如果满足：，常数M＞0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数的上界．

(Ⅰ)求函数在[1，3]上的最大值与最小值，并判断函数在[1，3]上是不是有界函数？请给出证明；

(Ⅱ)若已知质点的运动方程为，要使在t∈[0，＋∞)上的每一时刻的瞬时速度是以M＝1为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)∵，当时，．

　　∴在[1，3]上是增函数．　3分

　　∴当时，≤≤，即－2≤≤26．

　　所以当时，当时，　4分

　　∴存在常数M＝26，使得，都有≤M成立．

　　故函数是[1，3]上的有界函数．　6分

　　(Ⅱ)∵．由≤1，得≤1　8分

　　∴　　10分

　　令，显然在上单调递减，

　　则当t→＋∞时，→1．∴

　　令，显然在上单调递减，

　　则当时，　∴

　　∴0≤a≤1；

　　故所求a的取值范围为0≤a≤1．　14分


练习册系列答案
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定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．
已知函数f（x）=1+a•（
1
2
）x+（
1
4
）x；g（x）=
1-m•x2
1+m•x2

（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）值域并说明函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数？
（Ⅱ）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）已知m＞-1，函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），求T（m）的取值范围．
定义在D上的函数f（x），如果满足对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界，已知函数f（x）=1+x+ax2
（1）当a=-1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，判断函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，并说明理由；
（2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f(x)=1+a•(
1
2
)x+(
1
4
)x； g(x)=
1-m•x2
1+m•x2

（1）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；
（2）已知m＞-1，函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），求T（m）的取值范围．
对于定义在D上的函数f（x），若存在距离为d的两条直线y=kx+m1和y=kx+m2，使得对任意x∈D都有kx+m1≤f（x）≤kx+m2恒成立，则称函数f（x）（x∈D）有一个宽度为d的通道．给出下列函数：①f(x)=
1
x
，②f（x）=sinx，③f(x)=
x2-1
，其中在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1的函数有（　　）
如右图所示，定义在D上的函数f（x），如果满足：对?x∈D，常数A，都有f（x）≥A成立，则称函数f（x）在D上有下界，其中A称为函数的下界．（提示：图中的常数A可以是正数，也可以是负数或零）
（1）试判断函数f(x)=x3+
48
x
在（0，+∞）上是否有下界？并说明理由；
（2）已知某质点的运动方程为S(t)=at-2
t+1
，要使在t∈[0，+∞）上的每一时刻该质点的瞬时速度是以A=
1
2
为下界的函数，求实数a的取值范围．

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