题目内容
【题目】
，
，…，
是一个数列，对每个
，
，
.如果
，
两数不同，写
；如果，两数相同，写
.于是得到一个新数列
，
，…，
，其中
.重复上述方法，得到一个由0及1两个数字组成的三角形数表，最后一行仅一个数字，求这张数字表中1的和的最大值.
【答案】见解析
【解析】
用
表示所求数目的最大值，当
时，
；对于
，
；对于
，
；因为
，
，
一共有6种可能的排列；0，0，0；1，1，1；1，0，1；1，1，0；0，1，1；0，1，0；在第2，3，4种情况时，
，其余情况皆小于4.
现在寻找
与的关系，考虑
行情况，前三行为
… 
… 
… 
下面证明，在前三行中，有不少于
个零，如果
三数中至少有一个零，将这三数作为一组，捆在一起，放入一个盒内，如果某
全为1，那么，
，
，及
两组，捆在一起，至少有两个零，也放入这个盒内，那么从第一组
开始，依次进行上述操作，最后，有两种可能：第一种可能
已放入盒内，这时盒内至少有
个零，最后三数
至少有一个零；第二种可能由于全为1，没放入盒内，这时盒内至少有
个零，但
，
，两组与中至少有两个零，因此，前三行至少有个零，换句话讲，前三行至多
个1，那么有
. ①
当
时，从上式，有
，
，
，
……
.
上述不等式相加，有
. ②
当
，从①出发，类似可证
. ③
当
，有
. ④
②、③和④可以合并为一个不等式
. ⑤
能达到，看下图.
1 1 0 1 1 0 1 1 0
0 1 1 0 1 1 0 1
1 0 1 1 0 1 1
1 1 0 1 1 0
0 1 1 0 1
1 0 1 1
1 1 0
0 1
1
每三行作为一段，在一段内，第一行是1，1，0三数不断周期出现，第一行数的个数恰为3的倍数.第二行是0，1，1三数不断周期出现，最后二个数字是0，1，第三行是1，0，1三数不断周期出现，最后一个数字是1，换句话讲，倒过来数，每行1的数目分别为1，1，2，3，3，4，5，5，6，…，那么，
， ⑥
， ⑦
， ⑧
这里
是正整数.当
时，⑦、⑧也是正确的.
由⑥、⑦和⑧可以合并为一个不等式
.
因此，.
