题目内容

在对数函数y=logx的图象上(如图),有A、B、C三点,它们的横坐标依次为t、t+2、t+4,其中t≥1,
(1)设△ABC的面积为S,求S=f(t);
(2)判断函数S=f(t)的单调性;
(3)求S=f(t)的最大值.
【答案】分析:根据已知条件,A、B、C三点坐标分别为(t,logt),(t+2,log(t+2)),(t+4,log(t+4)),
对于(1)由图形得SABC=S梯形ABFE+S梯形BCNF-S梯形ACNE,根据面积公式代入相关数据即可得到三角形面积的表达式
(2)根据(1)中所求的表达式研究函数的单调性并进行证明即可
(3)由(2)所求的单调性求出三角形面积的最大值.
解答:解:(1)A、B、C三点坐标分别为(t,logt),(t+2,log(t+2)),(t+4,log(t+4)),由图形,当妨令三点A,B,C在x轴上的垂足为E,F,N,则△ABC的面积为
SABC=S梯形ABFE+S梯形BCNF-S梯形ACNE
=-[logt+log(t+2)]+[log(t+2)+log(t+4))]+2[logt-log(t+4))]
=logt+log(t+4)-2log(t+2)]==
即△ABC的面积为S=f(t)=  (t≥1)

(2)f(t)=  (t≥1)是复合函数,其外层是一个递增的函数,t≥1时,内层是一个递减的函数,故复合函数是一个减函数,
(3)由(2)的结论知,函数在t=1时取到最大值,故三角形面积的最大值是
S=f(1)==
点评:本题考查对数函数的图象和性质的综合运算,解题时要结合图象进行分析求解,注意计算能力的培养.
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