Question

1．已知正项数列{a_n}中，其前n项和为S_n，且${a_n}=2\sqrt{S_n}-1$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系及其等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）由题设条件知4S_n=（a_n+1）²，得4S_n+1=（a_n+1+1）²，
两者作差，得4a_n+1=（a_n+1+1）²-（a_n+1）²．
整理得（a_n+1-1）²=（a_n+1）²．
又数列{a_n}各项均为正数，∴a_n+1-1=a_n+1，即a_n+1=a_n+2，
故数列{a_n}是等差数列，公差为2，又4S₁=4a₁=（a₁+1）²，解得a₁=1，
故有a_n=2n-1
（2）由（1）可得${b_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了递推关系的应用、等差数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．