题目内容
已知△ABC中，（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB，（1）求∠C；（2）若△ABC的外接圆半径为2，试求该三角形面积的最大值．
【答案】分析：（1）利用正弦定理把题设中的条件中的角的正弦换成边，化简整理得a2+b2-c2=ab，进而利用余弦定理求得cosC，则C可得．
（2）利用三角形面积公式表示出三角形的面积，利用正弦定理把边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理，进而利用正弦函数的性质求得三角形面积的最大值．
解答：解：（1）由（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB，得（a-c）（a+c）=（a-b）b，
∴a2-c2=ab-b2，∴a2+b2-c2=ab，∴cosC=
=
又∵0°＜C＜180°，∴C=60°
（2）S=
absinC=
×
ab=4
sinAsinB=4
sinAsin（120°-A）
=4
sinA（sin120°cosA-cos120°sinA）=6sinAcosA+2
sin2A
=3sin2A-
cos2A+
=2
sin（2A-30°）+
∴当2A=120°，即A=60°时，Smax=3
点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的关键是利用了正弦定理完成了边角问题的互化．
（2）利用三角形面积公式表示出三角形的面积，利用正弦定理把边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理，进而利用正弦函数的性质求得三角形面积的最大值．
解答：解：（1）由（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB，得（a-c）（a+c）=（a-b）b，
∴a2-c2=ab-b2，∴a2+b2-c2=ab，∴cosC=
=又∵0°＜C＜180°，∴C=60°
（2）S=
absinC=×ab=4sinAsinB=4sinAsin（120°-A）=4
sinA（sin120°cosA-cos120°sinA）=6sinAcosA+2sin2A=3sin2A-
cos2A+=2sin（2A-30°）+∴当2A=120°，即A=60°时，Smax=3
点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的关键是利用了正弦定理完成了边角问题的互化．
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