题目内容

(本小题满分12分) 一几何体的三视图如图所示,,A1A=,AB=,AC=2,A1C1=1,在线段上且=.

(I)证明:平面⊥平面

(II)求二面角的余弦值.

(I)见解析(II)


解析:

方法一  :由三视图可知几何体是底面以为直角,侧棱垂直底面的三棱台,      ---------2分

(I)证明  ∵A1A⊥平面ABC,BC平面ABC,

∴A1A⊥BC.

在Rt△ABC中,AB=,AC=2,∴BC=.

∵BD∶DC=1∶2,∴BD=.又==,

∴△DBA∽△ABC,∴∠ADB=∠BAC=90°,

即AD⊥BC.

又A1A∩AD=A,∴BC⊥平面A1AD.

∵BC平面BCC1B1,∴平面A1AD⊥平面BCC1B1. --------7分

(II)解  如图①,作AE⊥C1C交C1C于E点,连接BE,由已知得AB⊥平面ACC1A1,

∴AE是BE在平面ACC1A1内的射影.

由三垂线定理知BE⊥CC1,

∴∠AEB为二面角A—CC1—B的平面角. 图①

                                                 

过C1作C1F⊥AC交AC于F点,

则CF=AC-AF=1,

C1F=A1A=,∴∠C1CF=60°.

在Rt△AEC中,

AE=ACsin60°=2×=,

在Rt△BAE中,tan∠AEB===,

∴cos∠AEB=,              

即二面角A—CC1—B余弦值为  -------12分

方法二  (I)  证明  如图②,建立空间直角坐标系,

则A(0,0,0),B(,0,0),C(0,2,0),

A1(0,0,),C1(0,1, ).

∵BD∶DC=1∶2,∴=,

∴D点坐标为,

=, =(-,2,0),=(0,0,).

·=0,·=0,

∴BC⊥AA1,BC⊥AD.又A1A∩AD=A,

∴BC⊥平面A1AD.又BC平面BCC1B1

∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.

(II)解  ∵BA⊥平面ACC1A1,取m==(,0,0)为平面ACC1A1的法向量.

设平面BCC1B1的法向量为n=(x,y,z),

·n=0,·n=0,

∴x=y,z=,可取y=1,则n=

cos〈m,n〉=

=,

即二面角A—CC1—B的余弦值为.

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