Question

（2009•河东区二模）已知sin(α+

π

4

)=

4

5

，

π

4

＜α＜

3π

4

，则cos2α的值是（　　）

• A．

  24

  25

• B．

  7

  25

• C．-

  24

  25

• D．-

  7

  25

Answer 1

分析：已知等式利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出sinα+cosα的值，两边平方并利用同角三角函数间的基本关系化简求出sinαcosα的值，利用完全平方公式求出（sinα-cosα）²的值，根据α的范围判断出sinα-cosα的正负，开方求出sinα-cosα的值，所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．

解答：解：∵sin（α+

π

4

）=

2

2

（sinα+cosα）=

4

5

，
∴sinα+cosα=

4 2

5

，
两边平方得：（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=

32

25

，即2sinαcosα=

7

25

，
∴（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=

18

25

，
∵

π

4

＜α＜

3π

4

，∴sinα＞cosα，即sinα-cosα＞0，
∴sinα-cosα=

3 2

5

，
则cos2α=cos²α-sin²α=-（sinα+cosα）（sinα-cosα）=-

24

25

．
故选C

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．