题目内容
设向量
=(4cosα，sinα)，
=(sinβ，4cosβ)，
=(cosβ，-4sinβ)，
（1）若
⊥(
-2
)，求tan（α+β）的值
（2）若tanαtanβ=16，证明：
∥
．
| a |
| b |
| c |
（1）若
| a |
| b |
| c |
（2）若tanαtanβ=16，证明：
| a |
| b |
分析：（1）求出
-2
，通过
⊥(
-2
)，数量积为0，求tan（α+β）的值
（2）通过tanαtanβ=16，化为弦函数，利用两个向量的坐标运算，然后证明
∥
．
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
（2）通过tanαtanβ=16，化为弦函数，利用两个向量的坐标运算，然后证明
| a |
| b |
解答：解：（1）向量
=(4cosα，sinα)，
=(sinβ，4cosβ)，
=(cosβ，-4sinβ)，
因为
⊥(
-2
)，所以
-2
=(sinβ-2cosβ，4cosβ+8sinβ)，
4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，
可得4cosαsinβ-8cosαcosβ+4sinαcosβ+8sinαsinβ=0，
∴4sin（α+β）-8cos（α+β）=0
所以tan（α+β）=2．
（2）∵tanαtanβ=16，
=16，
即sinαsinβ=16cosαcosβ，
即sinα•sinβ-4cosα•4cosβ
所以
∥
成立．命题得证
| a |
| b |
| c |
因为
| a |
| b |
| c |
| b |
| c |
4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，
可得4cosαsinβ-8cosαcosβ+4sinαcosβ+8sinαsinβ=0，
∴4sin（α+β）-8cos（α+β）=0
所以tan（α+β）=2．
（2）∵tanαtanβ=16，
| sinαsinβ |
| cosαcosβ |
即sinαsinβ=16cosαcosβ，
即sinα•sinβ-4cosα•4cosβ
所以
| a |
| b |
点评：本题考查平面向量的数量积的计算，两角和的正弦函数的应用，向量共线的坐标运算，考查计算能力．
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