题目内容
设向量a |
b |
c |
(1)若
a |
b |
c |
(2)求|
b |
c |
(3)若tanαtanβ=16,求证:
a |
b |
分析:(1)先根据向量的线性运算求出
-2
,再由
与
-2
垂直等价于
与
-2
的数量积等于0可求出α+β的正余弦之间的关系,最后可求正切值.
(2)先根据线性运算求出
+
,然后根据向量的求模运算得到|
+
|的关系,最后根据正弦函数的性质可确定答案.
(3)将tanαtanβ=16化成弦的关系整理即可得到(4cosα)•(4cosβ)=sinαsinβ,正是
∥
的充要条件,从而得证.
b |
c |
a |
b |
c |
a |
b |
c |
(2)先根据线性运算求出
b |
c |
b |
c |
(3)将tanαtanβ=16化成弦的关系整理即可得到(4cosα)•(4cosβ)=sinαsinβ,正是
a |
b |
解答:解:(1)∵
-2
=(sinβ-2cosβ,4cosβ+8sinβ),
与
-2
垂直,
∴4cosα(sinβ-2cosβ)+sinα(4cosβ+8sinβ)=0,
即sinαcosβ+cosαsinβ=2(cosαcosβ-sinαsinβ),
∴sin(α+β)=2cos(α+β),∴tan(α+β)=2.
(2)∵
+
=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ),
∴|
+
|=
=
=
,
∴当sin2β=-1时,|
+
|取最大值,且最大值为
=4
.
(3)∵tanαtanβ=16,∴
•
=16,即sinαsinβ=16cosαcosβ,
∴(4cosα)•(4cosβ)=sinαsinβ,
即
=(4cosα,sinα)与
=(sinβ,4cosβ)共线,
∴
∥
.
b |
c |
a |
b |
c |
∴4cosα(sinβ-2cosβ)+sinα(4cosβ+8sinβ)=0,
即sinαcosβ+cosαsinβ=2(cosαcosβ-sinαsinβ),
∴sin(α+β)=2cos(α+β),∴tan(α+β)=2.
(2)∵
b |
c |
∴|
b |
c |
(sinβ+cosβ)2+(4cosβ-4sinβ)2 |
=
1+2sinβcosβ+16-32cosβsinβ |
17-15sin2β |
∴当sin2β=-1时,|
b |
c |
32 |
2 |
(3)∵tanαtanβ=16,∴
sinα |
cosα |
sinβ |
cosβ |
∴(4cosα)•(4cosβ)=sinαsinβ,
即
a |
b |
∴
a |
b |
点评:本题主要考查向量的线性运算、求模运算、向量垂直和数量积之间的关系.向量和三角函数的综合题是高考的热点,要强化复习.
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