题目内容

设向量
a
=(4cosα,sinα),
b
=(sinβ,4cosβ),
c
=(cosβ,-4sinβ)

(1)若
a
b
-2
c
垂直,求tan(α+β)的值;
(2)求|
b
+
c
|
的最大值;
(3)若tanαtanβ=16,求证:
a
b
分析:(1)先根据向量的线性运算求出
b
-2
c
,再由
a
b
-2
c
垂直等价于
a
b
-2
c
的数量积等于0可求出α+β的正余弦之间的关系,最后可求正切值.
(2)先根据线性运算求出
b
+
c
,然后根据向量的求模运算得到|
b
+
c
|的关系,最后根据正弦函数的性质可确定答案.
(3)将tanαtanβ=16化成弦的关系整理即可得到(4cosα)•(4cosβ)=sinαsinβ,正是
a
b
的充要条件,从而得证.
解答:解:(1)∵
b
-2
c
=(sinβ-2cosβ,4cosβ+8sinβ),
a
b
-2
c
垂直,
∴4cosα(sinβ-2cosβ)+sinα(4cosβ+8sinβ)=0,
即sinαcosβ+cosαsinβ=2(cosαcosβ-sinαsinβ),
∴sin(α+β)=2cos(α+β),∴tan(α+β)=2.
(2)∵
b
+
c
=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ),
∴|
b
+
c
|=
(sinβ+cosβ)2+(4cosβ-4sinβ)2

=
1+2sinβcosβ+16-32cosβsinβ
=
17-15sin2β

∴当sin2β=-1时,|
b
+
c
|取最大值,且最大值为
32
=4
2

(3)∵tanαtanβ=16,∴
sinα
cosα
sinβ
cosβ
=16
,即sinαsinβ=16cosαcosβ,
∴(4cosα)•(4cosβ)=sinαsinβ,
a
=(4cosα,sinα)与
b
=(sinβ,4cosβ)共线,
a
b
点评:本题主要考查向量的线性运算、求模运算、向量垂直和数量积之间的关系.向量和三角函数的综合题是高考的热点,要强化复习.
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