题目内容

已知定义在R的函数 $数学公式$ （a，b为实常数）．
（Ⅰ）当a=b=1时，证明：f（x）不是奇函数；
（Ⅱ）设f（x）是奇函数，求a与b的值；
（Ⅲ）当f（x）是奇函数时，证明对任何实数x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．

解：（Ⅰ） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
所以f（-1）≠-f（1），f（x）不是奇函数；（2分）
（Ⅱ）f（x）是奇函数时，f（-x）=-f（x），
即 $\text{[math]}$ 对任意x∈R恒成立．（4分）
化简整理得（2a-b）•2^2x+（2ab-4）•2^x+（2a-b）=0对任意x∈R恒成立．（6分）
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ （舍）或 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．（8分）
另解：∵f（x）是定义在R的奇函数，∴ $\text{[math]}$ ，，
∴ $\text{[math]}$ ，验证满足，∴ $\text{[math]}$ ．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得： $\text{[math]}$ ，
∵2^x＞0，∴2^x+1＞1，
∴ $\text{[math]}$ ，从而 $\text{[math]}$ ；（12分）
而 $\text{[math]}$ 对任何实数c成立；
所以对任何实数x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．（14分）
分析：（I）证明不是奇函数，可用特殊值法；
（II）用奇函数定义f（-x）=-f（x），再用待定系数法求解；
（III）即证明c²-3c+3大于f（x）的最大值，所以先求f（x）的最大值．
点评：本题主要考查奇函数的应用及恒成立问题．