题目内容

已知定义在R的函数f(x)=
-2x+a2x+1+b
(a,b为实常数).
(Ⅰ)当a=b=1时,证明:f(x)不是奇函数;
(Ⅱ)设f(x)是奇函数,求a与b的值;
(Ⅲ)当f(x)是奇函数时,证明对任何实数x、c都有f(x)<c2-3c+3成立.
分析:(I)证明不是奇函数,可用特殊值法;
(II)用奇函数定义f(-x)=-f(x),再用待定系数法求解;
(III)即证明c2-3c+3大于f(x)的最大值,所以先求f(x)的最大值.
解答:解:(Ⅰ)f(x)=
-2x+1
2x+1+1
f(1)=
-2+1
22+1
=-
1
5
f(-1)=
-
1
2
+1
2
=
1
4

所以f(-1)≠-f(1),f(x)不是奇函数;(2分)
(Ⅱ)f(x)是奇函数时,f(-x)=-f(x),
-2-x+a
2-x+1+b
=-
-2x+a
2x+1+b
对任意x∈R恒成立.(4分)
化简整理得(2a-b)•22x+(2ab-4)•2x+(2a-b)=0对任意x∈R恒成立.(6分)
2a-b=0
2ab-4=0
,∴
a=-1
b=-2
(舍)或
a=1
b=2
,∴
a=1
b=2
.(8分)
另解:∵f(x)是定义在R的奇函数,∴
f(0)=0
f(-1)+f(1)=0
,,
a=1
b=2
,验证满足,∴
a=1
b=2

(Ⅲ)由(Ⅱ)得:f(x)=
-2x+1
2x+1+2
=-
1
2
+
1
2x+1

∵2x>0,∴2x+1>1,
0<
1
2x+1
<1
,从而-
1
2
<f(x)<
1
2
;(12分)
c2-3c+3=(c-
3
2
)2+
3
4
3
4
1
2
对任何实数c成立;
所以对任何实数x、c都有f(x)<c2-3c+3成立.(14分)
点评:本题主要考查奇函数的应用及恒成立问题.
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