题目内容
已知定义在R的函数f(x)=-2x+a | 2x+1+b |
(Ⅰ)当a=b=1时,证明:f(x)不是奇函数;
(Ⅱ)设f(x)是奇函数,求a与b的值;
(Ⅲ)当f(x)是奇函数时,证明对任何实数x、c都有f(x)<c2-3c+3成立.
分析:(I)证明不是奇函数,可用特殊值法;
(II)用奇函数定义f(-x)=-f(x),再用待定系数法求解;
(III)即证明c2-3c+3大于f(x)的最大值,所以先求f(x)的最大值.
(II)用奇函数定义f(-x)=-f(x),再用待定系数法求解;
(III)即证明c2-3c+3大于f(x)的最大值,所以先求f(x)的最大值.
解答:解:(Ⅰ)f(x)=
,f(1)=
=-
,f(-1)=
=
,
所以f(-1)≠-f(1),f(x)不是奇函数;(2分)
(Ⅱ)f(x)是奇函数时,f(-x)=-f(x),
即
=-
对任意x∈R恒成立.(4分)
化简整理得(2a-b)•22x+(2ab-4)•2x+(2a-b)=0对任意x∈R恒成立.(6分)
∴
,∴
(舍)或
,∴
.(8分)
另解:∵f(x)是定义在R的奇函数,∴
,,
∴
,验证满足,∴
.
(Ⅲ)由(Ⅱ)得:f(x)=
=-
+
,
∵2x>0,∴2x+1>1,
∴0<
<1,从而-
<f(x)<
;(12分)
而c2-3c+3=(c-
)2+
≥
>
对任何实数c成立;
所以对任何实数x、c都有f(x)<c2-3c+3成立.(14分)
-2x+1 |
2x+1+1 |
-2+1 |
22+1 |
1 |
5 |
-
| ||
2 |
1 |
4 |
所以f(-1)≠-f(1),f(x)不是奇函数;(2分)
(Ⅱ)f(x)是奇函数时,f(-x)=-f(x),
即
-2-x+a |
2-x+1+b |
-2x+a |
2x+1+b |
化简整理得(2a-b)•22x+(2ab-4)•2x+(2a-b)=0对任意x∈R恒成立.(6分)
∴
|
|
|
|
另解:∵f(x)是定义在R的奇函数,∴
|
∴
|
|
(Ⅲ)由(Ⅱ)得:f(x)=
-2x+1 |
2x+1+2 |
1 |
2 |
1 |
2x+1 |
∵2x>0,∴2x+1>1,
∴0<
1 |
2x+1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
而c2-3c+3=(c-
3 |
2 |
3 |
4 |
3 |
4 |
1 |
2 |
所以对任何实数x、c都有f(x)<c2-3c+3成立.(14分)
点评:本题主要考查奇函数的应用及恒成立问题.
练习册系列答案
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已知定义在R的函数f(x)=m+
为奇函数,则m的值是( )
1 |
2x+1 |
A、0 | ||
B、-
| ||
C、
| ||
D、2 |