Question

（2013•铁岭模拟）已知函数f（x）=

1

2

x2+(

3

4

a2+

1

2

a)lnx-2ax，a∈R．
（Ⅰ）当a=-

1

2

时，求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若函数f（x）在导函数f′（x）的单调区间上也是单调的，求a的取值范围；
（Ⅲ） 当0＜a＜

1

8

时，设g（x）=f（x）-（

3

4

a2+

1

2

a+1）lnx-（a+

1

2

）x²+（2a+1）x，且x₁，x₂是函数g（x）的极值点，证明：g（x₁）+g（x₂）＞3-2ln2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）=

1

2

x²-

1

16

lnx+x，（x＞0），f′（x）=x-

1

16x

+1=0，由此能求出函数f（x）的极值点．
（Ⅱ）f′（x）=

x2-2ax+ 3 4 a2+ 1 2 a

x

（x＞0），令g（x）=x²-2ax+a²+a，△=4a²-3a²-2a=a²-2a，设g（x）=0的两根x₁，x₂（x₁＜x₂），由此进行分类讨论，能求出a的取值范围．
（Ⅲ） g（x）=-lnx-ax²+x，g′（x）=-

1

x

-2ax+1=-

2ax2-x+1

x

．令g′（x）=0，即2ax²-x+1=0，当0＜a＜时，△=1-8a＞0，所以，方程2ax²-x+1=0的两个不相等的正根x₁，x₂，设x₁＜x₂，则当x∈（0，x₁）∪（x₂，+∞）时，g′（x）＜0，当x∈（x₁，x₂）时，g′（x）＞0，所以g（x）有极小值点x₁和极大值点x₂，且x₁+x₂=

1

2a

，x₁x₂=

1

2a

．由此能够证明g（x₁）+g（x₂）＞3-2ln2．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

1

2

x²-

1

16

lnx+x  （x＞0），f′（x）=x-

1

16x

+1=0，
∴x₁=

-2+ 5

4

，x₂=

-2- 5

4

（不在定义域内，舍）
∴（0，

-2+ 5

4

]单调减，[

-2+ 5

4

，+∞）单调增，
∴f（x）在x=

-2+ 5

4

时取极小值，且是唯一极值．
（Ⅱ）f′（x）=

x2-2ax+ 3 4 a2+ 1 2 a

x

（x＞0）
令g（x）=x²-2ax+

3

4

a²+

1

2

a，△=4a²-3a²-2a=a²-2a，
设g（x）=0的两根x₁，x₂（x₁＜x₂）
1⁰ 当△≤0时，即0≤a≤2，f′（x）≥0，
∴f（x）单调递增，满足题意；
2⁰ 当△＞0时  即a＜0或a＞2时，
（1）若x₁＜0＜x₂，则 a²+a＜0，
即-＜a＜0时，f（x）在（0，x₂）上减，（x₂，+∞）上增，
f′（x）=x+-2a，f''（x）=1-≥0，
∴f′（x） 在（0，+∞）单调增，不合题意
（2）若x₁＜x₂＜0 则

3 4 a2+ 1 2 a≥0 a＜0

，
即a≤-时f（x）在（0，+∞）上单调增，满足题意．
（3）若0＜x₁＜x₂则

3 4 a2+ 1 2 a＞0 a＞0

，
即a＞2时，∴f（x）在（0，x₁）单调增，（x₁，x₂）单调减，（x₂，+∞）单调增，
不合题意．综上得a≤-或0≤a≤2．
（Ⅲ） g（x）=-lnx-ax²+x，g′（x）=-

1

x

-2ax+1=-

2ax2-x+1

x

．
令g′（x）=0，即2ax²-x+1=0，
当0＜a＜时，△=1-8a＞0，
所以，方程2ax²-x+1=0的两个不相等的正根x₁，x₂，设x₁＜x₂，
则当x∈（0，x₁）∪（x₂，+∞）时，g′（x）＜0，
当x∈（x₁，x₂）时，g′（x）＞0，
所以g（x）有极小值点x₁和极大值点x₂，且x₁+x₂=

1

2a

，x₁x₂=

1

2a

．
g（x₁）+g（x₂）=-lnx₁-ax+x₁-lnx₂-ax+x₂
=-（lnx₁+lnx₂）-（x₁-1）-（x₂-1）+（x₁+x₂）
=-ln（x₁x₂）+（x₁+x₂）+1
=ln（2a）+…+1．
令h（a）=ln（2a）++1，a∈（0，]，
则当a∈（0，）时，h′（a）=-=＜0，h（a）在（0，）单调递减，
所以h（a）＞h（

1

8

）=3-2ln2，
即g（x₁）+g（x₂）＞3-2ln2．

点评：本题考查函数的极值点和实数的取值范围的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．