Question

（2013•铁岭模拟）已知函数f（x）=x²+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠-2）
（I）若f（x）能表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）的和，求g（x）和h（x）的解析式；
（II）命题P：函数f（x）在区间[（a+1）²，+∞）上是增函数；命题Q：函数g（x）是减函数．如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围；
（III）在（II）的条件下，比较f（2）与3-lg2的大小．

Answer 1

分析：（I）设f（x）=g（x）+h（x），利用函数的奇偶性，组成方程组，即可求得函数的解析式；
（II）将函数f（x）配方，利用函数在区间[（a+1）²，+∞）上是增函数，可得命题P为真的条件；利用函数g（x）=（a+1）x是减函数，可得命题Q为真的条件，从而可求命题P、Q有且仅有一个是真命题，a的取值范围；
（III）由（I）得f（2）=2a+lg|a+2|+6，确定函数v（a）=2a+lg（a+2）+6，在区间[-

3

2

，+∞)上为增函数，即可求得结论．

解答：解：（I）∵f（x）=g（x）+h（x），g（-x）=-g（x），h（-x）=h（x）
∴f（-x）=-g（x）+h（x）
∴

g(x)+h(x)=x2+(a+1)x+lg|a+2| -g(x)+h(x)=x2-(a+1)x+lg|a+2|

解得g（x）=（a+1）x，h（x）=x²+lg|a+2|；
（II）∵函数f（x）=x²+（a+1）x+lg|a+2|=(x+

a+1

2

)2-

(a+1)2

4

+lg|a+2|在区间[（a+1）²，+∞）上是增函数，
∴(a+1)2≥-

a+1

2

，解得a≥-1或a≤-

3

2

且a≠-2
又由函数g（x）=（a+1）x是减函数，得a+1＜0，∴a＜-1且a≠-2
∴命题P为真的条件是：a≥-1或a≤-

3

2

且a≠-2，命题Q为真的条件是：a＜-1且a≠-2．
又∵命题P、Q有且仅有一个是真命题，
∴a＞-

3

2

（III）由（I）得f（2）=2a+lg|a+2|+6
∵a＞-

3

2

，∴f（2）=2a+lg（a+2）+6
设函数v（a）=2a+lg（a+2）+6，v′（a）=2+

1

(a+2)ln10

＞0．
∴函数v（a）在区间[-

3

2

，+∞)上为增函数．
又∵v(-

3

2

)=3-lg2，∴当a＞-

3

2

时，v（a）＞v(-

3

2

)，即f（2）＞3-lg2．

点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查函数的单调性，考查大小比较，正确运用函数的单调性是关键．