题目内容
【题目】已知双曲线的两个焦点为
点
在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程;
(2)已知Q(0,2),P为双曲线C上的动点,点M满足求动点M的轨迹方程;
(3)过点Q(0,2)的直线与双曲线C相交于不同的两点E、F,若
求直线
的方程.
【答案】(1);(2)
;(3)
,
或
.
【解析】
(1)依题意,由,得双曲线方程为
,将点
代入上式,能求出双曲线方程;
(2)设由题意
为线段
的中点,则
,由此能得到动点
的轨迹方程;
(3)设直线的方程为
,代入双曲线
的方程并整理,得
.直线
与双曲线
相交于不同的两点
、
,所以
,利用弦长公式与韦达定理解方程即可求出答案.
解:(1)依题意,由,
得双曲线方程为,
将点代入上式,得
,
解得(舍去)或
,
故所求双曲线方程为;
(2)设,
点
满足
,
为线段
的中点,
,
,
把点代入双曲线方程为
,
得动点的轨迹方程:
;
(3)依题意,可设直线的方程为
,代入双曲线
的方程并整理,
得,
直线
与双曲线
相交于不同的两点
、
,
,
,
设,
,
由韦达定理得,
,
于是
,
,即
,
化简得,
解得,或
,
∴直线的方程为
或
,或
。
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