Question

设函数y=ax³+bx²+cx+d的图象与y轴交点为P，且曲线在P点处的切线方程为24x+y-12=0，若函数在x=2处取得极值为-16．
（1）求函数解析式；
（2）确定函数的单调递增区间；
（3）证明：当x∈（-∞，0）时，y＜92.5．

Answer 1

（1）解：求导函数，可得由y′=3ax²+2bx+c，∴f′（0）=c，
∵切线24x+y-12=0的斜率k=-24，∴c=-24，
把x=0代入24x+y-12=0得y=12，∴P点的坐标为（0，12），由此得d=12，
∴f（x）即可写成f（x）=ax³+bx²-24x+12．
由函数f（x）在x=2处取得极值-16，则得
解得a=1，b=3．
∴f（x）=x³+3x²-24x+12，
（2）解：f′（x）=3x²+6x-24．
令f′（x）＜0，得-4＜x＜2；令f′（x）＞0，得x＜-4或x＞2．
∴函数递减区间为（-4，2），递增区间为（-∞，-4），（2，+∞）．
（3）证明：由（2）知当x∈（-∞，0）时，x=-4是函数的极大值点，且是唯一的极值点，所以x=-4时的函数值是函数的最大值．
∴当x∈（-∞，0）时，函数的最大值为92
∴当x∈（-∞，0）时，y＜92.5．
分析：（1）要确定解析式，即求a，b，c，d这四个参数，由f′（0）=c，且切线24x+y-12=0可解得c，把x=0代入24x+y-12=0可得P点的坐标为解d，再由函数f（x）在x=2处取得极值-16，解得a，b，从而求得解析式；
（2）利用f′（x）＜0，确定函数的单调减区间；利用f′（x）＞0，确定函数的单调增区间；
（3）利用导数确定当x∈（-∞，0）时，函数的最大值，即可得到结论．
点评：本题主要考查了函数的极值点，导数的几何意义以及用导数法研究函数的单调性及求函数的单调区间，属中档题．