题目内容
17．已知△ABC的外接圆O（O为圆心）的半径为1，且2$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$（1）求$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$夹角的余弦值；
（2）延长CO交AB于D点，设$\overrightarrow{CO}$=λ$\overrightarrow{OD}$，求实数λ的值．
分析 （1）由已知可得：$2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}$=-$4\overrightarrow{OC}$，利用数量积运算及其$|\overrightarrow{OA}|$=$|\overrightarrow{OB}|$=$|\overrightarrow{OC}|$=1，即可得出；
（2）由于A，B，D三点共线，可得存在实数m三点$\overrightarrow{OD}$=m$\overrightarrow{OA}$+（1-m）$\overrightarrow{OB}$，又$\overrightarrow{CO}$=λ$\overrightarrow{OD}$，且2$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，利用向量基本定理即可得出．
解答 解：（1）∵2$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，∴$2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}$=-$4\overrightarrow{OC}$，
∴$16{\overrightarrow{OC}}^{2}$=$4{\overrightarrow{OA}}^{2}$+$9{\overrightarrow{OB}}^{2}$+12$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，又$|\overrightarrow{OA}|$=$|\overrightarrow{OB}|$=$|\overrightarrow{OC}|$=1，
∴16=4+9+12$cos＜\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}＞$，
∴$cos＜\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}＞$=$\frac{1}{4}$．
（2）∵A，B，D三点共线，
∴存在实数m三点$\overrightarrow{OD}$=m$\overrightarrow{OA}$+（1-m）$\overrightarrow{OB}$，
又$\overrightarrow{CO}$=λ$\overrightarrow{OD}$，且2$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴（2+4λm）$\overrightarrow{OA}$+（3+4λ-4λm）$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{0}$，
∵$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$不共线，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2+4λm=0}\\{3+4λ-4λm=0}\end{array}\right.$，
解得λ=$-\frac{5}{4}$．
点评 本题考查了向量共线定理、向量基本定理、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
| A． | 3 | B． | -3 | C． | -$\frac{3}{2}$ | D． | $\frac{3}{2}$ |