题目内容

求证：当a、b、c为正数时，（a+b+c）（ $数学公式$ + $数学公式$ + $数学公式$ ）≥9．

证明：当a、b、c为正数时，（a+b+c）（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）=1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +1
=3+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ．
由均值不等式得 $\text{[math]}$ ≥2， $\text{[math]}$ ≥2， $\text{[math]}$ ≥2，
故有 3+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≥3+2+2+2=9，当且仅当正数a、b、c 全部相等时，等号成立．
故（a+b+c）（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）≥9 成立．
分析：不等式的左边即3+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，由均值不等式证得此式大于或等于9．
点评：本题考查应用基本不等式证明不等式，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键．