题目内容
求证：当a、b、c为正数时，（a+b+c）（| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| c |
分析：不等式的左边即3+
+
+
+
+
+
，由均值不等式证得此式大于或等于9．
| b |
| a |
| a |
| b |
| c |
| a |
| a |
| c |
| c |
| b |
| b |
| c |
解答：证明：当a、b、c为正数时，（a+b+c）（
+
+
）=1+
+
+
+1+
+
+
+1
=3+
+
+
+
+
+
．
由均值不等式得
+
≥2，
+
≥2，
+
≥2，
故有 3+
+
+
+
+
+
≥3+2+2+2=9，当且仅当正数a、b、c 全部相等时，等号成立．
故 （a+b+c）（
+
+
）≥9 成立．
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| c |
| b |
| a |
| c |
| a |
| a |
| b |
| c |
| b |
| a |
| c |
| b |
| c |
=3+
| b |
| a |
| a |
| b |
| c |
| a |
| a |
| c |
| c |
| b |
| b |
| c |
由均值不等式得
| b |
| a |
| a |
| b |
| c |
| a |
| a |
| c |
| c |
| b |
| b |
| c |
故有 3+
| b |
| a |
| a |
| b |
| c |
| a |
| a |
| c |
| c |
| b |
| b |
| c |
故 （a+b+c）（
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| c |
点评：本题考查应用基本不等式证明不等式，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键．
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+
+
）≥9．
+
+
）≥9
）≥9．
．