题目内容

已知二面角α-PQ-β为60°,点A和B分别在平面α和平面β内,点C在棱PQ上∠ACP=∠BCP=30°,CA=CB=a.
(1)求证:AB⊥PQ;
(2)求点B到平面α的距离;
(3)设R是线段CA上的一点,直线BR与平面α所成的角为45°,求CR的长.

【答案】分析:(1)作BM⊥PQ于M,连接AM,根据∵∠ACP=∠BCP=30°求得CA=CB进而判断出△MBC≌△MAC,进而可知AM⊥PQ,根据线与面垂直的定义可知PQ⊥平面ABM,AB?平面ABM.
(2)作BN⊥AM于N,根据PQ⊥平面ABM可推知BN⊥PQ,进而可知BN⊥α,BN是点B到平面α的距离,进而根据BN=BMsin60°求得BN.
(3)连接NR,BR,根据BN⊥α可知BR与平面α所成的角为∠BRN=45°,进而求得RN和CM,判断出,根据∠BMA=60°,进而判断,△BMA为正三角形,N是BM中点,进而可知R是CB中点,答案可得.
解答:证明:(1)作BM⊥PQ于M,连接AM,
∵∠ACP=∠BCP=30°,CA=CB=a,
∴△MBC≌△MAC,∴AM⊥PQ,PQ⊥平面ABM,AB?平面ABM,
∴AB⊥PQ.
解:(2)作BN⊥AM于N,
∵PQ⊥平面ABM,∴BN⊥PQ,
∴BN⊥α,BN是点B到平面α的距离,由(1)知∠BMA=60°,

∴点B到平面α的距离为
(3)连接NR,BR,∵BN⊥α,BR与平面α所成的角为∠BRN=45°,

,∵∠BMA=60°,BM=AM,△BMA为正三角形,
N是BM中点,∴R是CB中点,∴
点评:本题考查了点、线、面间的距离计算.求点B到平面α的距离关键是寻找点B到α的垂线段.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网