Question

若关于x的方程lnx-ax=0只有一个实根，则实数a的范围是

（-∞，0]∪{

1

e

}

．

Answer 1

分析：求导函数，分类讨论，确定函数的极值，讨论极值情况，即可得到结论．

解答：解：设f（x）=lnx-ax，定义域为（0，+∞），则f'（x）=

1

x

-a=0，可得x=

1

a

当a≤0，f'（x）＞0，最多有一个实根，因为x＞0，且x→0时，f（x）＜0，f（1）≥0，所以（0，1]之间必有一个实根
a＞0，0＜x＜

1

a

时，函数单调递增，x＞

1

a

时，函数单调递减，f（

1

a

）=-lna-1为极大值，此极大值若为0的话，则有一个实根，此时a=

1

e

此极大值若大于0的话，会有两个实根，此极大值若小于0的话，则无实根．
因此a的取值范围为：（-∞，0]∪{

1

e

}
故答案为：（-∞，0]∪{

1

e

}．

点评：本题利用导数解决方程根的个数问题，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．