Question

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx-2sin²x．
（Ⅰ）若角α的终边与单位圆交于点P（

3

5

，

4

5

），求f（α）的值；
（Ⅱ）若x∈[-

π

6

，

π

3

]，求f（x）最小正周期和值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用三角函数的定义，求出α的正弦函数值、余弦函数值，直接代入f（α）化简即可．
（Ⅱ）将f（x）=2

3

sin2x-2sin²x化为（x）=2sin（2x+

π

6

），即可求得其周期；由x∈[-

π

6

，

π

3

]可得2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，利用正弦函数的单调性可求f（x）在区间x∈[-

π

6

，

π

3

]上的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）因为角α的终边与单位圆交于点P（

3

5

，

4

5

），
由三角函数的定义可知，sinα=

4

5

，cosα=

3

5

，
所以f（α）=2

3

sinαcosα-2sin²α
=2

3

×

3

5

×

4

5

-2×(

4

5

)2
=

24 3 -32

25

．
（Ⅱ）∵f（x）=

3

sin2x+1-2sin²x-1=

3

sin2x+cos2x-1
=2sin（2x+

π

6

）-1
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
于是，当2x+

π

6

=-

π

6

，即x=-

π

6

时，f（x）取得最小值-2；
当2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

时，f（x）取得最大值1．
所以函数的值域为[-2，1]．

点评：本题考查三角函数的化简求值，三角函数的定义，着重考查降幂公式与辅助角公式的应用及正弦函数的函数的单调性质，属于中档题．