题目内容

有下列命题：
①若f（x）存在导函数，则f′（2x）=[f（2x）]′；
②若函数h（x）=cos4x-sin4x，则h′（
π
12
）=[h（
π
12
）]′；
③若函数g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2009）（x-2010），则g′（2010）=2009!；
④若三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，则“a+b+c=0”是“f（x）有极值点”的充要条件．
其中真命题的序号是（　　）
A、③B、①③④C、①③D、②③
分析：①若f（x）存在导函数，根据复合函数的导数可知f′（2x）=2[f（2x）]′②若函数h（x）=cos4x-sin4x，则h′（
π
12
）=-2sin
π
6
而[h（
π
12
）]′=0，③若函数g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2009）（x-2010），则g'（x）中含（x-2010）的将2010代入都为0，则g′（2010）=2009!④若三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，则f'（x）=0有两个不等的根即b2-3ac＞0，进行逐一判定．
解答：解：①若f（x）存在导函数，则f′（2x）=2[f（2x）]′，故不正确；
②若函数h（x）=cos4x-sin4x，则h′（
π
12
）=-2sin
π
6
=-1，而[h（
π
12
）]′=0，故不正确
③若函数g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2009）（x-2010），则g'（x）中含（x-2010）的将2010代入都为0，则g′（2010）=2009!故正确；
④若三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，则f'（x）=0有两个不等的根即b2-3ac＞0，故不正确．
故选A
点评：本题主要考查了复合函数的导数，以及函数的极值、求值等有关知识，属于综合题．
练习册系列答案
相关题目
有下列命题：
①函数y=f （-x+2）与y=f （x-2）的图象关于y轴对称；
②若函数f（x）=ex，则?x1，x2∈R，都有f(
x1+x2
2
)≤
f(x1)+f(x2)
2
；
③若函数f（x）=loga|x|（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上单调递增，则f（-2）＞f（a+1）；
④若函数f（x+2010）=x2-2x-1（x∈R），则函数f（x）的最小值为-2．
其中真命题的序号是
 
．
有下列命题：
①函数y=f （-x+2）与y=f （x-2）的图象关于y轴对称；
②若函数f（x）=ex，则?x1，x2∈R，都有f(
x1+x2
2
)≤
f(x1)+f(x2)
2
；
③若函数f（x）=loga|x|（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上单调递增，则f（-2）＞f（a+1）；
④若函数f（x+2010）=x2-2x-1 （x∈R），则函数f（x）的最小值为-2．
其中真命题的序号是
②④
②④
．
有下列命题：
①函数y=f（-x+2）与y=f（x-2）的图象关于y轴对称；
②若函数f（x+2010）=x2-2x-1（x∈R），则函数f（x）的最小值为-2；
③若函数f（x）=loga|x|（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上单调递增，则f（-2）＞f（a+1）；
④若f（x）=
(3a-1)x+4a，(x＜1)
logax，(x≥1)
是（-∞，+∞）上的减函数，则a的取值范围是（0，
1
3
）．
其中正确命题的序号是
②
②
．
关于函数f（x）=4sin（2x+
π
3
）（x∈R），有下列命题：
①函数y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x-
π
6
）；
②函数y=f（x）的最小正周期为2π；
③函数y=f（x）的图象关于点（-
π
6
，0）对称；
④函数 y=f（x）的图象关于直线x=-
π
6
对称；
⑤若f（x1）=f（x2）=0，则必有：x1-x2=
kπ
2
，k∈Z．
其中正确的是
①③⑤
①③⑤
（填序号，多填漏填均不给分）
（2012•安徽模拟）对于函数f（x）=-2cosx，x∈[0，π]与函数g（x）=
1
2
x2+lnx有下列命题：
①无论函数f（x）的图象通过怎样的平移所得的图象对应的函数都不会是奇函数；
②函数f（x）的图象与两坐标轴及其直线x=π所围成的封闭图形的面积为4；
③方程g（x）=0有两个根；
④函数g（x）图象上存在一点处的切线斜率小于0；
⑤若函数f（x）在点P处的切线平行于函数g（x）在点Q处的切线，则直线PQ的斜率为
1
2-π
，其中正确的命题是
②⑤
②⑤
．（把所有正确命题的序号都填上）

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