题目内容

有下列命题：
①函数y=f（-x+2）与y=f（x-2）的图象关于y轴对称；
②若函数f（x+2010）=x2-2x-1（x∈R），则函数f（x）的最小值为-2；
③若函数f（x）=loga|x|（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上单调递增，则f（-2）＞f（a+1）；
④若f（x）=
(3a-1)x+4a，(x＜1)
logax，(x≥1)
是（-∞，+∞）上的减函数，则a的取值范围是（0，
1
3
）．
其中正确命题的序号是
②
②
．
分析：根据函数的对称性判断①，单调性、奇偶性判断③、图象的变换最值判断②，以及分段函数的单调性④，即可得到选项．
解答：解：①函数y=f （-x+2）与y=f （x-2）的图象关于x=2轴对称，故①不正确
②函数f（x）的最小值与函数f（x+2010）=x2-2x-1（x∈R）的最小值相等，故函数f（x）的最小值为-2，故②正确
③∵函数f（x）=loga|x|（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上单调递增，∴a＞1则a+1＞2
根据函数是偶函数则f（-2）=f（2）＜f（a+1），故③不正确
④由于f（x）=
(3a-1)x+4a，(x＜1)
logax，(x≥1)
是（-∞，+∞）上的减函数，
则
0＜a＜1 
3a-1＜0 
3a-1+4a≤loga1

则a的取值范围是（0，
1
7
]．故④不正确
故答案为：②
点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及函数的单调性、奇偶性、对称性等有关知识，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
关于函数f（x）=sin2x-cos2x有下列命题：
①函数y=f（x）的周期为π；
②直线x=
π
4
是y=f（x）的一条对称轴；
③点(
π
8
，0)是y=f（x）的图象的一个对称中心；
④将y=f（x）的图象向左平移
π
4
个单位，可得到y=
2
sin2x的图象．
其中真命题的序号是
①③
①③
．（把你认为真命题的序号都写上）
关于函数f（x）=lg
x2+1|x|
（x≠0，x∈R）有下列命题：
①函数y=f（x）的图象关于y 轴对称；
②在区间（-∞，0）上，函数y=f（x）是减函数；
③在区间（1，+∞）上，函数f（x）是增函数．
其中正确命题序号为
①③
①③
．
有下列命题：
①函数y=cos（x-
π
4
）cos（x+
π
4
）的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；
②函数y=
x+3
x-1
的图象关于点（-1，1）对称；
③关于x的方程ax2-2ax-1=0有且仅有一个实数根，则实数a=-1；
④已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则非p：存在x∈R，使得sinx＞1．
其中所有真命题的序号是（　　）
关于函数f（x）=lg（|x|+1）（x∈R）有下列命题：
①函数y=f（x）的图象关于y轴对称；
②在区间（-∞，0）上，函数y=f（x）是增函数；
③函数f（x）的最小值为0．
其中正确命题序号为
①③
①③
．
关于函数f（x）=sin2x-cos2x有下列命题：
①函数y=f（x）的周期为π；                
②直线x=
π
4
是y=f（x）图象的一条对称轴；
③点(
π
8
，0)是y=f（x）图象的一个对称中心；
④(-
π
8
，
3π
8
)是函数y=f（x）的一个单调递减区间．
其中真命题的序号是
①③
①③
．

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