椭圆的离心率为.且过点直线与椭圆M交于A.C两点.直线与椭圆M交于B.D两点.四边形ABCD是平行四边形(1)求椭圆M的方程,(2)求证:平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于原点O,(3)若平行四边形ABCD为菱形.求菱形ABCD的面积的最小值题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

椭圆的离心率为，且过点直线与椭圆M交于A、C两点，直线与椭圆M交于B、D两点，四边形ABCD是平行四边形
（1）求椭圆M的方程；
（2）求证：平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于原点O；
（3）若平行四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD的面积的最小值

（1）；（2）详见解析；（3）最小值为

解析试题分析：（1）依题意有，再加上，解此方程组即可得的值，从而得椭圆的方程（2）由于四边形ABCD是平行四边形，所以ABCD的对角线AC和BD的中点重合
利用（1）所得椭圆方程，联立方程组消去得：，显然点A、C的横坐标是这个方程的两个根，由此可得线段的中点为同理可得线段的中点为，由于中点重合，所以，解得：或(舍)这说明和都过原点即相交于原点（3）由于对角线过原点且该四边形为菱形，所以其面积为由方程组易得点A的坐标（用表示），从而得（用表示）；同理可得（由于，故仍可用表示）这样就可将表示为的函数，从而求得其最小值
试题解析：（1）依题意有，又因为，所以得
故椭圆的方程为                                    3分
（2）依题意，点满足
所以是方程的两个根
得
所以线段的中点为
同理，所以线段的中点为         5分
因为四边形是平行四边形，所以
解得，或(舍)
即平行四边形的对角线和相交于原点                7分
（3）点满足
所以是方程的两个根，即
故
同理，                     9分
又因为，所以，其中
从而菱形的面积

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椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率e=,a+b=3.

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(1)求椭圆M的方程；
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（1）求椭圆的方程；
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(1)求双曲线的方程.
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（1）求双曲线C的方程；
（2）若以k（k≠0)为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M, N,且线段MN的
垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围。

过椭圆Γ：＝1(a＞b＞0)右焦点F₂的直线交椭圆于A，B两点，F₁为其左焦点，已知△AF₁B的周长为8，椭圆的离心率为.
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点P，Q，且⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．

设椭圆的右焦点为，直线与轴交于点，若（其中为坐标原点）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上的任意一点，为圆的任意一条直径（、为直径的两个端点），求的最大值．

在直角坐标系xOy中，中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C上的点(2，1)到两焦点的距离之和为4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C的右焦点F作直线l与椭圆C分别交于A，B两点，其中点A在x轴下方，且＝3.求过O，A，B三点的圆的方程．