题目内容
(07年四川卷理) (14分)
设函数.
(Ⅰ)当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;
(Ⅱ)对任意的实数x,证明>
(Ⅲ)是否存在,使得an<<恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.
本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。
解析:(Ⅰ)展开式中二项式系数最大的项是第4项,这项是
(Ⅱ)证法一:因
证法二:因
而
故只需对和进行比较。
令,有
由,得
因为当时,,单调递减;当时,,单调递增,所以在处有极小值
故当时,,
从而有,亦即
故有恒成立。
所以,原不等式成立。
(Ⅲ)对,且
有
又因,故
∵,从而有成立,
即存在,使得恒成立。
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