Question

【题目】如图，已知椭圆的离心率，长轴长为4.

（1）求椭圆的方程；

（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，过右焦点作直线与直线交与点，且.求证：点在定直线上，并求出定直线方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析，.

【解析】

试题分析：（1）根据条件直接求出的值即可；（2）联立直线方程和椭圆方程，消去得到，由判别式等于整理得到，代入求得的坐标，然后写出直线方程为，联立方程组，求得，即说明点在定直线上．

试题解析：（1）由椭圆的离心率，长轴长为4可知，

所以，∴椭圆的方程为．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）由，得方程（*）．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

由直线与椭圆相切，得，且整理得；

，将代入（*）式，得，

即，解得，∴，．．．．．．．．．．．．．8分

又，①当即，∴②，

②当时，∴，则，．．．．．．．．．．．9分

∴直线方程为，

联立方程组，得，

∴点在定直线上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分