Question

已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4-x），且当x≠2时其导函数f′（x）满足（x-2）f′（x）＞0，若2＜a＜4则（　　）

A．f（2^a）＜f（3）＜f（log₂a）

B．f（log₂a）＜f（3）＜f（2^a）

C．f（3）＜f（log₂a）＜f（2^a）

D．f（log₂a）＜f（2^a）＜f（3）

Answer 1

分析：由函数的性质得到函数的对称轴，再由（x-2）f'（x）＞0得到函数的单调区间，由函数的单调性得到要证得结论．

解答：解：函数f（x）对定义域R内任意x都有f（x）=f（4-x），
即函数图象的对称轴是x=2
∵（x-2）f'（x）＞0
∴x＞2时，f'（x）＞0，x＜2时，f'（x）＜0
即 f（x）在（-∞，2）上递减，在（2，+∞）上递增
∵2＜a＜4
∴1＜log2a＜2＜3＜4＜2a
∴f(log2a)＜f(3)＜f(2a)．
故选B．

点评：本题考查了导数的运算，考查了函数单调性的性质，是基础的运算题．