题目内容
【题目】已知椭圆的右焦点为
,点
在椭圆
上.
(1)求椭圆的方程;
(2)圆的切线
与椭圆
相交于
、
两点,证明:
为钝角.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
(1)利用椭圆定义求出的值,可得出
的值,再结合焦点的坐标可得出
的值,由此可得出椭圆
的方程;
(2)分直线的斜率是否存在进行分类讨论,在直线
的斜率不存在时,得出直线
的方程为
,求出点
、
的坐标,并验证
;在直线
的斜率存在时,设直线
的方程为
,由直线与圆相切得出
,再将直线
的方程与椭圆
的方程联立,列出韦达定理,利用平面向量数量积的运算律得出
,由此可证明出
为钝角.
(1)设椭圆的左焦点为
,则
,
由椭圆的定义可得,
,
,因此,椭圆
的方程为
;
(2)①当直线的斜率不存在时,则直线
的方程为
.
若直线的方程为
,联立直线
与椭圆
的方程
,得
,
则点、
,
,
,此时,
;
当直线的方程为
,同理可得出
;
②当直线的斜率存在时,设直线
的方程为
,设点
、
,
由于直线与圆
相切,则
,可得
.
将直线的方程与椭圆
的方程联立
,
消去得
,
,
由韦达定理得,
.
.
综上所述,为钝角.
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