Question

已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现在从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为黑色球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）取出的4个球均为黑色球包括从甲盒内取出的2个球均黑球且从乙盒内取出的2个球为黑球，这两个事件是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．
（2）取出的4个球中恰有1个红球表示从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红红，1个是黑球或从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球两种情况，它们是互斥的．
（3）ξ为取出的4个球中红球的个数，则ξ可能的取值为0，1，2，3．结合前两问的解法得到结果，写出分布列和期望．

解答：解：（I）设“从甲盒内取出的2个球均黑球”为事件A，
“从乙盒内取出的2个球为黑球”为事件B．
∵事件A，B相互独立，
且P(A)=

C 2 3

C 2 4

=

1

2

，P(B)=

C 2 4

C 2 6

=

2

5

．
∴取出的4个球均为黑球的概率为P（A•B）=P（A）•P（B）=

1

2

×

2

5

=

1

5

．

（II）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红红，1个是黑球”为事件C，
“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D．
∵事件C，D互斥，
且P(C)=

C 2 3

C 2 4

.

C 1 2 ． C 1 4

C 2 6

=

4

15

，P(D)=

C 1 3

C 2 4

.

C 2 4

C 2 6

=

1

5

．
∴取出的4个球中恰有1个红球的概率为P（C+D）=P（C）+P（D）=

4

15

+

1

5

=

7

15

．

（III）解：ξ可能的取值为0，1，2，3．
由（I），（II）得P(ξ=0)=

1

5

，P(ξ=1)=

7

15

，
又P(ξ=3)=

C 1 3

C 2 4

.

1

C 2 6

=

1

30

，
从而P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=

3

10

．
ξ的分布列为

ξ的数学期望Eξ=0×

1

5

+1×

7

15

+2×

3

10

+3×

1

30

=

7

6

．

点评：本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．